Удар ротатора - Kicked rotator

Фазовые портреты (p против x) классического ротора с ударной нагрузкой при разной силе удара. В верхнем ряду слева направо показаны K = 0,5, 0,971635, 1,3. В нижнем ряду слева направо показаны K = 2,1, 5,0, 10,0. Фазовый портрет на хаотической границе - это верхний средний график, где K_C = 0,971635. При и выше K_Cпоявляются области однородных, зернистых, квазислучайных траекторий и в конечном итоге поглощают весь график, указывая на хаос.

В отбитый ротатор, также пишется как выбитый ротор, является прототипом модели для хаос и квантовый хаос исследования. Он описывает частицу, которая вынуждена двигаться по кольцу (эквивалентно вращающейся палке). Частица периодически толкается однородным полем (эквивалентно: гравитация включается периодически короткими импульсами). Модель описывается гамильтонианом

${\displaystyle {\mathcal {H}}(p,x,t)={\frac {1}{2}}p^{2}+K\cos(x)\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-n)}$

Где ${\displaystyle \textstyle \delta }$ это Дельта-функция Дирака, ${\displaystyle \textstyle x}$ - угловое положение (например, на кольце), взятое по модулю ${\displaystyle \textstyle 2\pi }$, ${\displaystyle \textstyle p}$ это импульс, а ${\displaystyle \textstyle K}$ это сила удара ногой. Его динамика описывается стандартная карта

${\displaystyle p_{n+1}=p_{n}+K\sin(x_{n}),\;\;x_{n+1}=x_{n}+p_{n+1}}$

С оговоркой, что ${\displaystyle \textstyle p}$ не периодичен, как в стандартной карте.

Основные свойства (классика)

В классическом анализе, если удары достаточно сильные, ${\displaystyle K>K_{c}\approx 0.971635\dots }$, система хаотична и имеет положительный Максимальный показатель Ляпунова (MLE).

Усредненная диффузия квадрата импульса - полезный параметр для характеристики делокализации близлежащих траекторий. Индуктивный результат стандартного отображения дает следующее уравнение для импульса^[1]

${\displaystyle p(n)=p(0)+K\sum _{i=0}^{n-1}\sin(x(i))}$

Воспроизвести медиа

Анимация фазового портрета кикер-ротора

Затем диффузию можно рассчитать, возведя в квадрат разность импульсов после ${\displaystyle {n}^{th}}$ удар и начальный импульс, а затем усреднение, давая

${\displaystyle \left\langle {(\Delta p)}^{2}\right\rangle =\left\langle {(p(n)-p(0))}^{2}\right\rangle =K^{2}\sum _{i=0}^{n-1}\left\langle {\sin }^{2}(x(i))\right\rangle +K^{2}\sum _{i\neq j}^{}\left\langle \sin(x(i))\sin(x(j))\right\rangle }$

В хаотической области импульсы в разные моменты времени могут быть от совершенно некоррелированных до сильно коррелированных. Если они предполагаются некоррелированными из-за квазислучайного поведения, сумма, включающая перекрестные члены ${\displaystyle \textstyle i\neq j}$ пренебрегается. В этом пределе, поскольку первый член представляет собой сумму ${\displaystyle \textstyle n}$ условия все равны ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}}$, диффузия импульса становится ${\displaystyle \textstyle \left\langle {(\Delta p)}^{2}\right\rangle ={\frac {1}{2}}K^{2}n}$. Однако, если предполагается, что импульсы в разные моменты времени сильно коррелированы, суммой, включающей перекрестные члены, не пренебрегают, и поэтому она вносит больше членов, равных ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}}$. Всего есть ${\displaystyle \textstyle n^{2}}$ термины суммировать, все в форме ${\displaystyle \textstyle \sim \left\langle {\sin }^{2}x\right\rangle ={\frac {1}{2}}}$. Это дает верхнюю границу диффузии импульса ${\displaystyle \textstyle \left\langle {(\Delta p)}^{2}\right\rangle ={\frac {1}{2}}K^{2}n^{2}}$. Следовательно, в хаотической области диффузия импульса находится между

${\displaystyle {\frac {1}{2}}K^{2}n\leq \left\langle {(\Delta p)}^{2}\right\rangle \leq {\frac {1}{2}}K^{2}n^{2}}$

То есть диффузия импульса в хаотической области имеет где-то между линейной и квадратичной зависимостью от количества толчков. Точное выражение для ${\displaystyle \textstyle \left\langle {(\Delta p)}^{2}\right\rangle }$ в принципе можно получить, вычисляя суммы явно для ансамбля траекторий.

Основные свойства (квантовые)

В квантовом анализе гамильтониан сначала нужно переписать в операторной форме с заменой ${\displaystyle \textstyle p=i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}$ отдать (в безразмерном виде)….

${\displaystyle H(x,t)=-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+K\cos(x)\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-n)}$

Затем волновая функция может быть решена с использованием уравнения Шредингера

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (t)=H\psi (t)}$

куда ${\displaystyle \textstyle \hbar }$ здесь масштабируется в соответствии с периодом между ударами, ${\displaystyle \textstyle T}$, и волновой вектор вынуждающего потенциала, ${\displaystyle \textstyle k_{0}}$, так как

${\displaystyle \hbar \rightarrow \hbar {{k}_{0}}^{2}T/m}$

Волновая функция на ${\displaystyle \textstyle n^{th}}$ удар может быть разложен на собственные состояния импульса, ${\displaystyle \textstyle |l\rangle }$, так как

${\displaystyle \psi (t_{n})=\sum _{l=-\infty }^{\infty }a_{l}(t_{n})|l\rangle }$

Можно показать, что коэффициенты рекурсивно задаются формулой ^[2]

${\displaystyle a_{m}({t}_{n+1})=\exp[-im^{2}\hbar /2]\sum _{l=-\infty }^{\infty }{(-i)}^{l-m}{J}_{l-m}(K/\hbar )a_{l}(t_{n})}$

Где ${\displaystyle \textstyle {J}_{\alpha }}$ это Функция Бесселя порядка ${\displaystyle \textstyle \alpha }$.

При некотором наборе начальных условий относительно просто численно решить приведенное выше рекурсивное уравнение для всех времен и подставить вычисленные коэффициенты обратно в разложение по собственному состоянию импульса, чтобы найти полную волновую функцию. Возведение в квадрат дает эволюцию распределения вероятностей во времени, обеспечивая полное квантово-механическое описание.

Другой способ вычисления временной эволюции - итеративное применение унитарного оператора

${\displaystyle {\hat {U}}=\exp \left[-i{\frac {1}{2\hbar }}{\hat {p}}^{2}\right]\exp \left[-i{\frac {1}{\hbar }}K\cos {\hat {x}}\right]}$

Было обнаружено^[3] что классическая диффузия подавлена, и позже это было понято^[4][5][6][7] что это проявление квантового эффекта динамической локализации, параллельного Локализация Андерсона. Есть общий аргумент^[8][9] что приводит к следующей оценке времени разрыва диффузионного поведения

${\displaystyle t^{*}\ \approx \ D_{cl}/\hbar ^{2}}$

Где ${\displaystyle D_{cl}}$ - классический коэффициент диффузии. Следовательно, соответствующий масштаб локализации по импульсу равен ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {D_{cl}t^{*}}}}$.

Влияние шума и рассеивания

Если к системе добавляется шум, динамическая локализация разрушается, и возникает диффузия.^[10][11][12] Это несколько похоже на прыжковую проводимость. Правильный анализ требует выяснить, как уменьшаются динамические корреляции, ответственные за эффект локализации.

Напомним, что коэффициент диффузии равен ${\displaystyle D_{cl}\approx K^{2}/2}$, потому что изменение ${\displaystyle (p(t)-p(0))}$ в импульсе - это сумма квазислучайных ударов ${\displaystyle K\sin(x(n))}$. Точное выражение для ${\displaystyle D_{cl}}$ получается путем вычисления «площади» корреляционной функции ${\displaystyle C(n)=\langle \sin(x(n))\sin(x(0))\rangle }$, а именно сумма ${\displaystyle D=K^{2}\sum C(n)}$. Обратите внимание, что ${\displaystyle C(0)=1/2}$. Тот же рецепт расчета справедлив и для квантовомеханического случая, а также при добавлении шума.

В квантовом случае без шума площадь под ${\displaystyle C(n)}$ равна нулю (из-за длинных отрицательных хвостов), а с учетом шума практическое приближение ${\displaystyle C(n)\mapsto C(n)e^{-t/t_{c}}}$ где время согласованности ${\displaystyle t_{c}}$ обратно пропорциональна интенсивности шума. Следовательно, коэффициент диффузии, вызванной шумом, равен

${\displaystyle D\approx D_{cl}t^{*}/t_{c}\quad [{\text{assuming }}t_{c}\gg t^{*}]}$

Также была рассмотрена проблема вращателя с квантовым толчком с диссипацией (из-за связи с термостатом). Здесь возникает проблема, как ввести взаимодействие, учитывающее угловую периодичность положения. ${\displaystyle x}$ координата и остается пространственно однородной. В первых произведениях ^[13][14] предполагалось взаимодействие квантово-оптического типа, которое включает взаимодействие, зависящее от импульса. Потом^[15] был разработан способ сформулировать чисто позиционно-зависимую связь, как в модели Кальдерии-Леггетта, которую можно рассматривать как более раннюю версию DLD модель.

Эксперименты

Экспериментальная реализация вращателя с квантовым толчком была достигнута Райзен группа,^[16] и группой Окленда,^[17] и стимулировали возобновление интереса к теоретическому анализу. В этом эксперименте образец холодных атомов, представленный Магнитооптическая ловушка взаимодействует с импульсной стоячей волной света. Из-за расстройки света относительно атомных переходов атомы испытывают пространственно-периодический консервативная сила. Следовательно, угловая зависимость заменяется зависимостью от положения в экспериментальном подходе. Для получения квантовых эффектов необходимо охлаждение ниже милликельвина: из-за Принцип неопределенности Гейзенберга длина волны де Бройля, то есть длина волны атома, может стать сопоставимой с длиной волны света. Для получения дополнительной информации см.^[18]Благодаря этой методике были исследованы несколько явлений, в том числе заметные:

• квантовые трещотки;^[19]
• переход Андерсона в 3D.^[20]

Смотрите также

• Карта круга

Рекомендации

1. Чжэн, Иньдун; Кобе, Дональд Х. (2006). «Аномальная диффузия импульса в классическом роторе с толчками». Хаос, солитоны и фракталы. 28 (2): 395–402. Дои:10.1016 / j.chaos.2005.05.053. ISSN  0960-0779.
2. Чжэн, Иньдун; Кобе, Дональд Х. (2007). «Импульсная диффузия ротора с квантовым толчком: сравнение бомовской и стандартной квантовой механики». Хаос, солитоны и фракталы. 34 (4): 1105–1113. Дои:10.1016 / j.chaos.2006.04.065. ISSN  0960-0779.
3. Г. Казати, Б.В. Чириков, Ф. Израилев и Дж. Форд в Стохастическое поведение в классических и квантовых гамильтоновых системах, Vol. 93 конспектов лекций по физике под редакцией Дж. Касати и Дж. Форда (Springer, Нью-Йорк, 1979), с. 334
4. Фишман, Шмуэль; Grempel, D. R .; Прейндж Р. Э. (1982). «Хаос, квантовые рецидивы и локализация Андерсона». Письма с физическими проверками. 49 (8): 509–512. Дои:10.1103 / PhysRevLett.49.509. ISSN  0031-9007.
5. Grempel, D. R .; Prange, R.E .; Фишман, Шмуэль (1984). «Квантовая динамика неинтегрируемой системы». Физический обзор A. 29 (4): 1639–1647. Дои:10.1103 / PhysRevA.29.1639. ISSN  0556-2791.
6. Фишман, Шмуэль; Prange, R.E .; Гриниасти, Меир (1989). «Теория масштабирования для длины локализации выбитого ротора». Физический обзор A. 39 (4): 1628–1633. Дои:10.1103 / PhysRevA.39.1628. ISSN  0556-2791.
7. Фишман, Шмуэль; Grempel, D. R .; Прейндж, Р. Э. (1987). «Временной переход от классического к квантовому поведению вблизи динамических критических точек». Физический обзор A. 36 (1): 289–305. Дои:10.1103 / PhysRevA.36.289. ISSN  0556-2791.
8. Б.В. Чириков, Ф. Израилев, Д. Шепелянского, Сов. Sci. Ред. 2С, 209 (1981).
9. Шепелянский, Д. (1987). «Локализация диффузного возбуждения в многоуровневых системах». Physica D: нелинейные явления. 28 (1–2): 103–114. Дои:10.1016/0167-2789(87)90123-0. ISSN  0167-2789.
10. Ott, E .; Антонсен, Т. М .; Хэнсон, Дж. Д. (1984). «Влияние шума на нестационарный квантовый хаос». Письма с физическими проверками. 53 (23): 2187–2190. Дои:10.1103 / PhysRevLett.53.2187. ISSN  0031-9007.
11. Коэн, Дорон (1991). «Квантовый хаос, динамические корреляции и влияние шума на локализацию». Физический обзор A. 44 (4): 2292–2313. Дои:10.1103 / PhysRevA.44.2292. ISSN  1050-2947.
12. Коэн, Дорон (1991). «Локализация, динамические корреляции и влияние цветного шума на когерентность». Письма с физическими проверками. 67 (15): 1945–1948. arXiv:chao-dyn / 9909016. Дои:10.1103 / PhysRevLett.67.1945. ISSN  0031-9007.
13. Dittrich, T .; Грэм, Р. (1986). «Квантование вращающегося ротатора с диссипацией». Zeitschrift für Physik B. 62 (4): 515–529. Дои:10.1007 / BF01303584. ISSN  0722-3277.
14. Диттрих, Т; Грэм, Р. (1990). «Долгое время поведение в квантованной стандартной карте с диссипацией». Анналы физики. 200 (2): 363–421. Дои:10.1016 / 0003-4916 (90) 90279-В. ISSN  0003-4916.
15. Коэн, Д. (1994). «Шум, диссипация и классический предел в квантовой задаче вращателя с пинком». Журнал физики A: математические и общие. 27 (14): 4805–4829. Дои:10.1088/0305-4470/27/14/011. ISSN  0305-4470.
16. Klappauf, B.G .; Oskay, W. H .; Steck, D. A .; Райзен, М. Г. (1998). «Наблюдение за эффектами шума и рассеяния на динамическую локализацию». Письма с физическими проверками. 81 (6): 1203–1206. Дои:10.1103 / PhysRevLett.81.1203. ISSN  0031-9007.
17. Ammann, H .; Gray, R .; Шварчук, И .; Кристенсен, Н. (1998). "Квантовый ротор с дельта-пином: экспериментальное наблюдение декогеренции". Письма с физическими проверками. 80 (19): 4111–4115. Дои:10.1103 / PhysRevLett.80.4111. ISSN  0031-9007.
18. М. Райзен в Новые направления в квантовом хаосе, Труды Международной школы физики. Энрико Ферми, Курс CXLIII, под редакцией Дж. Касати, И. Гварнери и У. Смилански (IOS Press, Амстердам, 2000 г.).
19. Gommers, R .; Денисов, С .; Рензони, Ф. (2006). «Квазипериодически управляемые трещотки для холодных атомов». Письма с физическими проверками. 96 (24). arXiv:cond-mat / 0610262. Дои:10.1103 / PhysRevLett.96.240604. ISSN  0031-9007.
20. Шабе, Жюльен; Лемари, Габриэль; Гремо, Бенуа; Деланде, Доминик; Szriftgiser, Паскаль; Гарро, Жан Клод (2008). "Экспериментальное наблюдение перехода Андерсона металл-диэлектрик с волнами атомной материи". Письма с физическими проверками. 101 (25): 255702. arXiv:0709.4320. Дои:10.1103 / PhysRevLett.101.255702. ISSN  0031-9007. PMID  19113725.

внешняя ссылка

• Запись в Scholarpedia