Дальность снаряда - Range of a projectile

Путь этого снаряда, выпущенного с высоты у₀ имеет диапазон d.

В физика, предполагая плоскую Землю с однородным гравитационное поле, и нет сопротивление воздуха, а снаряд запущен с конкретными первоначальные условия будет предсказуемо классифицировать.

Следующее относится к диапазонам, которые малы по сравнению с размером Земли. Для более длинных диапазонов см. суборбитальный космический полет. Максимальное горизонтальное расстояние, пройденное снаряд, пренебрегая сопротивлением воздуха, можно рассчитать следующим образом:^[1]

${\displaystyle d={\frac {v\cos \theta }{g}}\left(v\sin \theta +{\sqrt {v^{2}\sin ^{2}\theta +2gy_{0}}}\right)}$

куда

• d - полное горизонтальное расстояние, пройденное снарядом.
• v скорость, с которой снаряд запускается
• грамм это гравитационное ускорение - обычно принимается равным 9,81 м / с² (32 к / с²) у поверхности Земли
• θ - угол запуска снаряда
• у₀ начальная высота снаряда

Если у₀ принимается равным нулю, что означает, что объект запускается по ровной поверхности, дальность полета снаряда упростится до:

${\displaystyle d={\frac {v^{2}}{g}}\sin 2\theta }$

Идеальное движение снаряда

Идеальное движение снаряда утверждает, что нет сопротивление воздуха и никаких изменений в гравитационное ускорение. Это предположение значительно упрощает математику и является близким приближением к реальному движению снаряда в случаях, когда пройденные расстояния небольшие. Идеальное движение снаряда - это также хорошее введение в тему, прежде чем добавлять сложности, связанные с сопротивлением воздуха.

Производные

Угол пуска в 45 градусов смещает снаряд дальше всего по горизонтали, что связано с природой прямоугольных треугольников. Кроме того, из уравнения для диапазона:

${\displaystyle d={\frac {v^{2}\sin 2\theta }{g}}}$

Мы видим, что диапазон будет максимальным, когда значение ${\displaystyle \sin 2\theta }$ является наибольшим (т.е. когда он равен 1). ${\displaystyle 2\theta }$ должно быть 90 градусов. То есть, ${\displaystyle \theta }$ составляет 45 градусов.

Ровная земля

Дальность полета снаряда (в Космос ).

Сначала рассмотрим случай, когда (у₀) равен нулю. Горизонтальное положение снаряда составляет

${\displaystyle x(t)=vt\cos \theta }$

В вертикальном направлении

${\displaystyle y(t)=vt\sin \theta -{\frac {1}{2}}gt^{2}}$

Нас интересует время, когда снаряд возвращается на ту же высоту, на которой был выпущен. Позволять т_грамм быть в любое время, когда высота снаряда равна его начальному значению.

${\displaystyle 0=vt\sin \theta -{\frac {1}{2}}gt^{2}}$

По факторингу:

${\displaystyle t=0}$

или же

${\displaystyle t={\frac {2v\sin \theta }{g}}}$

но t = T = время полета

${\displaystyle T={\frac {2v\sin \theta }{g}}}$

Первое решение соответствует моменту первого запуска снаряда. Второе решение полезно для определения дальности полета снаряда. Подставляя это значение для (т) в горизонтальное уравнение дает

${\displaystyle x={\frac {2v^{2}\cos \theta \,\sin \theta }{g}}}$

Применяя тригонометрическая идентичность

${\displaystyle \sin(x+y)=\sin x\,\cos y\ +\ \sin y\,\cos x}$

Если x и y одинаковы,

${\displaystyle \sin 2\theta =2\sin \theta \,\cos \theta }$

позволяет упростить решение

${\displaystyle d={\frac {v^{2}\sin 2\theta }{g}}}$

Обратите внимание, что когда (θ) составляет 45 °, решение принимает вид

${\displaystyle d_{\max }={\frac {v^{2}}{g}}}$

Неровная земля

Теперь допустим (у₀) быть ненулевым. Наши уравнения движения теперь

${\displaystyle x(t)=vt\cos \theta }$

и

${\displaystyle y(t)=y_{0}+vt\sin \theta -{\frac {1}{2}}gt^{2}}$

Еще раз решаем для (т) в случае, когда (у) Позиция снаряда находится в нуле (так как именно так мы определили нашу стартовую высоту)

${\displaystyle 0=y_{0}+vt\sin \theta -{\frac {1}{2}}gt^{2}}$

Снова применяя квадратичную формулу, мы находим два решения для времени. После нескольких шагов алгебраических манипуляций

${\displaystyle t={\frac {v\sin \theta }{g}}\pm {\frac {\sqrt {v^{2}\sin ^{2}\theta +2gy_{0}}}{g}}}$

Квадратный корень должен быть положительным числом, и поскольку скорость и синус угла запуска также можно считать положительными, решение с большим временем будет получено при использовании положительного знака плюс или минус. Таким образом, решение

${\displaystyle t={\frac {v\sin \theta }{g}}+{\frac {\sqrt {v^{2}\sin ^{2}\theta +2gy_{0}}}{g}}}$

Еще раз решаем диапазон

${\displaystyle d={\frac {v\cos \theta }{g}}\left(v\sin \theta +{\sqrt {v^{2}\sin ^{2}\theta +2gy_{0}}}\right)}$

Для максимального увеличения дальности на любой высоте

${\displaystyle \theta =\arccos {\sqrt {\frac {2gy_{0}+v^{2}}{2gy_{0}+2v^{2}}}}}$

Проверка лимита как ${\displaystyle y_{0}}$ приближается к 0

${\displaystyle \lim _{y_{0}\to 0}\arccos {\sqrt {\frac {2gy_{0}+v^{2}}{2gy_{0}+2v^{2}}}}={\frac {\pi }{4}}}$

Угол удара

Угол ψ, под которым приземляется снаряд, определяется выражением:

${\displaystyle \tan \psi ={\frac {-v_{y}(t_{d})}{v_{x}(t_{d})}}={\frac {\sqrt {v^{2}\sin ^{2}\theta +2gy_{0}}}{v\cos \theta }}}$

Для максимального диапазона это приводит к следующему уравнению:

${\displaystyle \tan ^{2}\psi ={\frac {2gy_{0}+v^{2}}{v^{2}}}=C+1}$

Переписывая исходное решение для θ, получаем:

${\displaystyle \tan ^{2}\theta ={\frac {1-\cos ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {v^{2}}{2gy_{0}+v^{2}}}={\frac {1}{C+1}}}$

Умножение на уравнение для (tan ψ) ^ 2 дает:

${\displaystyle \tan ^{2}\psi \,\tan ^{2}\theta ={\frac {2gy_{0}+v^{2}}{v^{2}}}{\frac {v^{2}}{2gy_{0}+v^{2}}}=1}$

Из-за тригонометрического тождества

${\displaystyle \tan(\theta +\psi )={\frac {\tan \theta +\tan \psi }{1-\tan \theta \tan \psi }}}$,

это означает, что θ + ψ должно быть 90 градусов.

Фактическое движение снаряда

В добавление к сопротивление воздуха, который замедляет снаряд и уменьшает его дальность, многие другие факторы также должны быть приняты во внимание, когда рассматривается фактическое движение снаряда.

Характеристики снаряда

Вообще говоря, снаряд с большей объем сталкивается с большим сопротивление воздуха, уменьшая дальность полета снаряда. (И увидеть Траектория снаряда.) Сопротивление воздуха может быть изменено формой снаряда: высокий и широкий, но короткий снаряд столкнется с большим сопротивлением воздуха, чем низкий и узкий, но длинный снаряд того же объема. Также необходимо учитывать поверхность снаряда: гладкий снаряд столкнется с меньшим сопротивлением воздуха, чем снаряд с шероховатой поверхностью, а неровности на поверхности снаряда могут изменить его траекторию, если они создают большее сопротивление воздуха. тащить с одной стороны снаряда, чем с другой. Однако некоторые неровности, такие как ямки на мяче для гольфа, могут фактически увеличить дальность его действия за счет уменьшения турбулентности, создаваемой за снарядом во время его полета.^{[нужна цитата ]} Масса также становится важным, так как более массивный снаряд будет иметь больше кинетическая энергия, и поэтому сопротивление воздуха будет меньше. Распределение массы внутри снаряда также может быть важным, так как снаряд с неравномерным весом может нежелательно вращаться, вызывая неровности в его движении. траектория из-за эффект магнуса.

Если дается снаряд вращение по своей оси хода, неровности формы и распределения веса снаряда, как правило, нивелируются. Видеть нарезы для большего объяснения.

Стволы для огнестрельного оружия

Для снарядов, выпущенных из огнестрельного оружия и артиллерии, характер оружия бочка тоже важно. Более длинные стволы позволяют пропеллент Энергия, передаваемая снаряду, увеличивает дальность действия. Нарезы, хотя это может не увеличивать средний (среднее арифметическое ) дальность большого количества выстрелов из одного и того же оружия увеличит тщательность и точность пистолета.

Очень большие диапазоны

Некоторые пушки или гаубицы были созданы с очень большим ассортиментом.

В течение Первая Мировая Война немцы создали исключительно большую пушку, Парижский пистолет, который мог выстрелить снарядом на расстояние более 80 миль (130 км). Северная Корея разработал пистолет, известный на Западе как Коксан, с дальностью стрельбы 60 км с применением реактивных снарядов. (И увидеть Траектория снаряда.)

Такие пушки отличаются от ракеты, или же баллистические ракеты, у которых есть собственные ракетные двигатели, которые продолжают разгонять ракету в течение некоторого времени после запуска.

Смотрите также

• Траектория
• Движение снаряда
• Скорость убегания

Рекомендации

1. Галлант, Джозеф (2012). Заниматься физикой с помощью научной тетради: подход к решению проблем. Джон Уайли и сыновья. п. 132. ISBN  978-1-119-94194-1. Выдержка страницы 132. Обратите внимание, что y-y источника₀ заменяется артикулом y₀