Решетка Тоды - Toda lattice

В Решетка Тоды, представлен Морикадзу Тода  (1967 ), представляет собой простую модель одномерного кристалла в физика твердого тела. Он известен тем, что является одним из первых примеров нелинейного полностью интегрируемая система.

Он задается цепочкой частиц с взаимодействием ближайших соседей, описываемой гамильтонианом

${\displaystyle {\begin{aligned}H(p,q)&=\sum _{n\in \mathbb {Z} }\left({\frac {p(n,t)^{2}}{2}}+V(q(n+1,t)-q(n,t))\right)\end{aligned}}}$

и уравнения движения

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}p(n,t)&=-{\frac {\partial H(p,q)}{\partial q(n,t)}}=e^{-(q(n,t)-q(n-1,t))}-e^{-(q(n+1,t)-q(n,t))},\\{\frac {d}{dt}}q(n,t)&={\frac {\partial H(p,q)}{\partial p(n,t)}}=p(n,t),\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle q(n,t)}$ это смещение ${\displaystyle n}$-я частица из положения равновесия,

и ${\displaystyle p(n,t)}$ его импульс (масса ${\displaystyle m=1}$),

и потенциал Тоды ${\displaystyle V(r)=e^{-r}+r-1}$.

Солитонные решения

Солитон решения представляют собой уединенные волны, распространяющиеся во времени без изменения своей формы и размера и взаимодействующие друг с другом подобно частицам. Общее N-солитонное решение уравнения имеет вид

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{N}(n,t)=q_{+}+\log {\frac {\det(\mathbb {I} +C_{N}(n,t))}{\det(\mathbb {I} +C_{N}(n+1,t))}},\end{aligned}}}$

куда

${\displaystyle C_{N}(n,t)={\Bigg (}{\frac {\sqrt {\gamma _{i}(n,t)\gamma _{j}(n,t)}}{1-e^{\kappa _{i}+\kappa _{j}}}}{\Bigg )}_{1<i,j<N},}$

с

${\displaystyle \gamma _{j}(n,t)=\gamma _{j}\,e^{-2\kappa _{j}n-2\sigma _{j}\sinh(\kappa _{j})t}}$

куда${\displaystyle \kappa _{j},\gamma _{j}>0}$ и${\displaystyle \sigma _{j}\in \{\pm 1\}}$.

Интегрируемость

Решетка Тоды является прототипом полностью интегрируемая система. Чтобы увидеть это, используется Flaschka переменные

${\displaystyle a(n,t)={\frac {1}{2}}{\rm {e}}^{-(q(n+1,t)-q(n,t))/2},\qquad b(n,t)=-{\frac {1}{2}}p(n,t)}$

такая, что цепочка Тоды имеет вид

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {a}}(n,t)&=a(n,t){\Big (}b(n+1,t)-b(n,t){\Big )},\\{\dot {b}}(n,t)&=2{\Big (}a(n,t)^{2}-a(n-1,t)^{2}{\Big )}.\end{aligned}}}$

Чтобы показать, что система полностью интегрируема, достаточно найти пару Лакса, т. Е. Два оператора L (т) и P (t) в Гильбертово пространство суммируемых с квадратом последовательностей ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$ такое, что уравнение Лакса

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}L(t)=[P(t),L(t)]}$

(куда [L, п] = LP - PL это Коммутатор Ли двух операторов) эквивалентна производной по времени от переменных Флашки. Выбор

${\displaystyle {\begin{aligned}L(t)f(n)&=a(n,t)f(n+1)+a(n-1,t)f(n-1)+b(n,t)f(n),\\P(t)f(n)&=a(n,t)f(n+1)-a(n-1,t)f(n-1).\end{aligned}}}$

куда е (п + 1) и f (n-1) - операторы сдвига, следует, что операторы L (т) для разных т унитарно эквивалентны.

Матрица ${\displaystyle L(t)}$ обладает тем свойством, что его собственные значения инвариантны во времени. Эти собственные значения представляют собой независимые интегралы движения, поэтому цепочка Тоды полностью интегрируема. В частности, решетка Тоды может быть решена с помощью обратное преобразование рассеяния для Оператор Якоби L. Из основного результата следует, что произвольные (достаточно быстро) убывающие начальные условия асимптотически при больших т разбивается на сумму солитонов и затухающего диспергирующий часть.

Смотрите также

• Слабая пара
• Биалгебра Ли
• Группа Пуассона – Ли

Рекомендации

• Крюгер, Хельге; Тешл, Джеральд (2009), «Пересмотр долговременной асимптотики цепочки Тоды для затухающих исходных данных», Rev. Math. Phys., 21 (1): 61–109, arXiv:0804.4693, Bibcode:2009RvMaP..21 ... 61K, Дои:10.1142 / S0129055X0900358X, МИСТЕР  2493113
• Тешл, Джеральд (2000), Операторы Якоби и вполне интегрируемые нелинейные решетки, Провиденс: амер. Математика. Soc., ISBN  978-0-8218-1940-1, МИСТЕР  1711536
• Тешл, Джеральд (2001), «Почти все, что вы всегда хотели знать об уравнении Тода», Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 103 (4): 149–162, МИСТЕР  1879178
• Евгений Гуткин, Интегрируемые гамильтонианы с экспоненциальным потенциалом, Physica 16D (1985) 398-404. Дои:10.1016 / 0167-2789 (85) 90017-Х
• Тода, Морикадзу (1967), "Вибрация цепи с нелинейным взаимодействием", J. Phys. Soc. Jpn., 22 (2): 431–436, Bibcode:1967JPSJ ... 22..431T, Дои:10.1143 / JPSJ.22.431
• Тода, Морикадзу (1989), Теория нелинейных решеток., Серия Спрингера в науках о твердом теле, 20 (2-е изд.), Берлин: Springer, Дои:10.1007/978-3-642-83219-2, ISBN  978-0-387-10224-5, МИСТЕР  0971987

внешняя ссылка

• Э. В. Вайсштейн, Решетка Тоды в ScienceWorld
• Г. Тешль, Решетка Тоды
• J Phys Специальный выпуск о пятидесятилетии цепочки Тоды