Топологическая сопряженность - Topological conjugacy

В математика, два функции как говорят топологически сопряженный друг другу, если Существует а гомеоморфизм который будет сопрягать одно с другим. Топологическая сопряженность важна при изучении повторяющиеся функции и вообще динамические системы, поскольку, если можно решить динамику одной повторной функции, то для любой топологически сопряженной функции следуют тривиально.

Чтобы проиллюстрировать это напрямую: предположим, что ${displaystyle f}$ и ${displaystyle g}$ - повторяющиеся функции, и существует гомеоморфизм ${displaystyle h}$ такой, что

${displaystyle g=h^{-1}circ fcirc h,}$

так что ${displaystyle f}$ и ${displaystyle g}$ топологически сопряжены. Тогда нужно иметь

${displaystyle g^{n}=h^{-1}circ f^{n}circ h,}$

и так итерированные системы также топологически сопряжены. Здесь, ${displaystyle circ }$ обозначает функциональная композиция.

Определение

${displaystyle fcolon X o X,gcolon Y o Y}$, и ${displaystyle hcolon Y o X}$ находятся непрерывные функции на топологические пространства, ${displaystyle X}$ и ${displaystyle Y}$.

${displaystyle f}$ существование топологически полусопряженный к ${displaystyle g}$ означает, по определению, что ${displaystyle h}$ это сюрприз такой, что ${displaystyle fcirc h=hcirc g}$.

${displaystyle f}$ и ${displaystyle g}$ существование топологически сопряженный означает по определению, что они топологически полусопряженный и ${displaystyle h}$ кроме того инъективный, тогда биективный, и это обратный является непрерывный тоже; т.е. ${displaystyle h}$ это гомеоморфизм; дальше, ${displaystyle h}$ называется топологическое сопряжение между ${displaystyle f}$ и ${displaystyle g}$.

Потоки

По аналогии, ${displaystyle phi }$ на ${displaystyle X}$, и ${displaystyle psi }$ на ${displaystyle Y}$ находятся потоки, с ${displaystyle X,Y}$, и ${displaystyle hcolon Y o X}$ как указано выше.

${displaystyle phi }$ существование топологически полусопряженный к ${displaystyle psi }$ означает, по определению, что ${displaystyle h}$ это сюрприз такой, что ${displaystyle phi (h(y),t)=hcirc psi (y,t)}$, для каждого ${displaystyle yin Y}$, ${displaystyle tin mathbb {R} }$.

${displaystyle phi }$ и ${displaystyle psi }$ существование топологически сопряженный означает по определению, что они топологически полусопряженный и час является гомеоморфизмом.

Примеры

• В логистическая карта и карта палатки топологически сопряжены.^[1]
• Логистическая карта единицы высоты и Карта Бернулли топологически сопряжены.^{[нужна цитата ]}
• Для определенных значений в пространстве параметров Карта Энона при ограничении его набором Жюлиа топологически сопряжено или полусопряжено с картой сдвига в пространстве двусторонних последовательностей из двух символов.^[2]

Обсуждение

Топологическое сопряжение - в отличие от полусопряжения - определяет отношение эквивалентности в пространстве всех непрерывных сюръекций топологического пространства самому себе, объявляя ${displaystyle f}$ и ${displaystyle g}$ быть связанными, если они топологически сопряжены. Это отношение эквивалентности очень полезно в теории динамические системы, поскольку каждый класс содержит все функции, которые разделяют одну и ту же динамику с топологической точки зрения. Например, орбиты из ${displaystyle g}$ отображаются на гомеоморфные орбиты ${displaystyle f}$ через спряжение. Письмо ${displaystyle g=h^{-1}circ fcirc h}$ делает этот факт очевидным: ${displaystyle g^{n}=h^{-1}circ f^{n}circ h}$. Говоря неформально, топологическое сопряжение - это «смена координат» в топологическом смысле.

Однако аналогичное определение потоков несколько ограничительно. Фактически, нам нужны карты ${displaystyle varphi (cdot ,t)}$ и ${displaystyle psi (cdot ,t)}$ быть топологически сопряженным для каждого ${displaystyle t}$, что требует большего, чем просто орбиты ${displaystyle phi }$ быть сопоставленным с орбитами ${displaystyle psi }$ гомеоморфно. Это мотивирует определение топологическая эквивалентность, который также разбивает множество всех потоков в ${displaystyle X}$ на классы потоков с одинаковой динамикой, опять же с топологической точки зрения.

Топологическая эквивалентность

Мы говорим, что два потока ${displaystyle phi }$ и ${displaystyle psi }$ находятся топологически эквивалентный, если существует гомеоморфизм ${displaystyle h:Y o X}$, отображение орбит ${displaystyle psi }$ на орбиты ${displaystyle phi }$ гомеоморфно и с сохранением ориентации орбит. Другими словами, позволяя ${displaystyle {mathcal {O}}}$ обозначают орбиту,

${displaystyle h({mathcal {O}}(y,psi ))={hcirc psi (y,t):tin mathbb {R} }={phi (h(y),t):tin mathbb {R} }={mathcal {O}}(h(y),phi )}$

для каждого ${displaystyle yin Y}$. Кроме того, нужно выстраивать течение времени: для каждого ${displaystyle yin Y}$, существует ${displaystyle delta >0}$ так что, если ${displaystyle 0<vert svert <t<delta }$, и если s таково, что ${displaystyle phi (h(y),s)=hcirc psi (y,t)}$, тогда ${displaystyle s>0}$.

В целом, топологическая эквивалентность является более слабым критерием эквивалентности, чем топологическая сопряженность, поскольку не требует, чтобы временной член отображался вместе с орбитами и их ориентацией. Примером топологически эквивалентной, но не топологически сопряженной системы может быть негиперболический класс двумерных систем дифференциальных уравнений с замкнутыми орбитами. В то время как орбиты могут быть преобразованы друг в друга для перекрытия в пространственном смысле, периоды таких систем не могут быть сопоставлены аналогичным образом, таким образом не удовлетворяя критерию топологической сопряженности при удовлетворении критерия топологической эквивалентности.

Гладкая и орбитальная эквивалентность

Дополнительные критерии эквивалентности можно изучить, если потоки, ${displaystyle phi }$ и ${displaystyle psi }$, возникают из дифференциальных уравнений.

Две динамические системы, определяемые дифференциальными уравнениями, ${displaystyle {dot {x}}=f(x)}$ и ${displaystyle {dot {y}}=g(y)}$, как говорят, гладко эквивалентный если есть диффеоморфизм, ${displaystyle h:X o Y}$, так что

${displaystyle f(x)=M^{-1}(x)g(h(x))quad { ext{where}}quad M(x)={frac {mathrm {d} h(x)}{mathrm {d} x}}.}$

В этом случае динамические системы могут быть преобразованы друг в друга преобразованием координат, ${displaystyle y=h(x)}$.

Две динамические системы в одном пространстве состояний, определяемые ${displaystyle {dot {x}}=f(x)}$ и ${displaystyle {dot {x}}=g(x)}$, как говорят, орбитально эквивалентный если есть положительная функция, ${displaystyle mu :X o mathbb {R} }$, так что ${displaystyle g(x)=mu (x)f(x)}$. Орбитально эквивалентные системы различаются только временной параметризацией.

Системы, которые являются гладко эквивалентными или орбитально эквивалентными, также топологически эквивалентны. Однако обратное неверно. Например, рассмотрим линейные системы в двух измерениях вида ${displaystyle {dot {x}}=Ax}$. Если матрица, ${displaystyle A}$, имеет два положительных действительных собственных значения, система имеет неустойчивый узел; если матрица имеет два комплексных собственных значения с положительной действительной частью, система имеет неустойчивый фокус (или спираль). Узлы и фокусы топологически эквивалентны, но не эквивалентны орбитально или гладко,^[3] поскольку их собственные значения различны (заметьте, что якобианы двух локально гладко эквивалентных систем должны быть похожий, поэтому их собственные значения, а также алгебраическая и геометрическая кратности, должны быть равны).

Обобщения динамической топологической сопряженности

Сообщается о двух расширениях концепции динамической топологической сопряженности:

1. Аналогичные системы, определяемые как изоморфные динамические системы
2. Присоединенные динамические системы, определенные через присоединенные функторы и естественные эквивалентности в категориальной динамике.^[4][5]

Смотрите также

• Коммутативная диаграмма

Рекомендации

1. Аллигуд, К. Т., Зауэр, Т., и Йорк, Дж. А. (1997). Хаос: введение в динамические системы. Springer. С. 114–124. ISBN  0-387-94677-2.
2. Devaney, R .; Нитецкий, З. (1979). «Автоморфизмы сдвига в отображении Энона». Comm. Математика. Phys. 67 (2): 137–146. Bibcode:1979CMaPh..67..137D. Дои:10.1007 / bf01221362. Получено 2 сентября 2016.
3. Кузнецов, Юрий А. (1998). Элементы теории бифуркаций (Второе изд.). Springer. ISBN  0-387-98382-1.
4. «Сложность и категориальная динамика». Архивировано из оригинал 19 августа 2009 г.
5. «Аналогичные системы, топологическая сопряженность и сопряженные системы». Архивировано из оригинал 2015-02-25.

В статье использован материал из топологического сопряжения на PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.